Problem 9

A Pythagorean triplet is a set of three natural numbers $a<b<c$ for which,

$a^2 + b^2 = c^2$

For example, $3^2 + 4^2 = 5^2$.

There exists exactly one Pythagorean triplet for which $a + b + c = 1000$. Find the product $abc$.

Começando com o exemplo mais facil

$a+b+c = 3+4+5 = 12$

$a + b = 12 - c$

Elevando ao quadrado:

$(a + b)^2 = (12 - c)^2$

$a^2 + 2ab + b^2 = 144 - 24c + c^2$

Substituindo $a^2 + b^2 = c^2$:

$c^2 + 2ab = 144 - 24c + c^2$

Subtraindo $c^2$ de ambos os lados:

$2ab = 144 - 24c$

Dividindo ambos os lados por 2:

$ab = 72 - 12c$

Sei la

Tentativa 1 - 25/12/2025

Tentando apenas rearrajando algebricamente

Isolando C:

$a + b - 1000 = -c$

$c = 1000 - a - b$

Substituindo $c$ na equação original:

$a^2 + b^2 = (1000 - a - b)^2$

Expandindo a equação:

$a^2 + b^2 = 1000^2 - 2000a - 2000b + a^2 + 2ab + b^2$

Subtraindo $a^2 + b^2$ de ambos os lados:

$0 = 1000^2 - 2000a - 2000b + 2ab$

Reorganizando:

Equação 1

$2ab - 2000a - 2000b + 1000^2 = 0$

Tentando outra coisa:

$a + b + c = 1000$

Quadrado em ambos lados:

$a + b = 1000 - c$

$a^2 + b^2 + 2ab = (1000 - c)^2$

Substituindo $a^2 + b^2 = c^2$:

$c^2 + 2ab = 1000^2 - 2000c + c^2$

Subtraindo $c^2$ de ambos os lados:

$2ab = 1000^2 - 2000c$

Dividindo ambos os lados por 2:

Equação 2

$ab = 500^2 - 1000c$

Substituindo $c$ na equação 1:

$2(500^2 - 1000c) - 2000a - 2000b + 1000^2 = 0$

Expandindo:

$1000^2 - 2000c - 2000a - 2000b + 1000^2 = 0$

Fatorando a b c:

$1000^2 - 2000(a + b + c) + 1000^2 = 0$

Substituindo $a + b + c = 1000$:

$1000^2 - 2000(1000) + 1000^2 = 0$

Lascou!

Brute force